物理のための幾何学(終)

「まっすぐな/線型な」幾何の舞台として、まずはベクトル空間を扱います。前半部では線型代数の諸概念（直和・商・双対・テンソル積etc）を紹介しつつ、数学的な言葉遣いに慣れていきます。後半部では、物理によく登場する付加的構造（ユークリッド計量・ミンコフスキ計量・複素構造etc）を紹介します。この月で扱う内容を隈なく「非線型化」することが、今後の内容の大半を占めます。

先月の内容を足場にして、「曲がった/非線形な」幾何の舞台である空間概念：多様体を導入します。多様体とはベクトル空間を非線型に貼り合わせて出来る空間のことで、身近な例として球面・トーラス（浮き輪）があります。こういった空間概念は物理においても、相空間 (phase space) や我々の棲む世界自体のモデル --- まっすぐなℝ^3ではなく、非自明な高次元多様体 --- として自然に現れます。
（つづく）だい 

そのような空間上で、どのように幾何学を展開するかを学びます。たとえばℝ^n上では、微積分（特に図形の計量）・線型代数が使えましたし、様々な付加構造を考えられました。これらの概念を多様体上に移植するために、多様体の「線型近似」である接空間を導入します。 後半では、物理的にも重要な位置を占める多様体としてLie群を紹介します。多様体の頻出例を網羅し、各々の性格に慣れ親しんでいきます。 

束 (bundle) は、空間の各点に定まる何かしらの空間を束ねて出来る大きな空間で、物理的には「場」を扱うための器として導入されます。典型例としては接束（多様体上で接空間を束ねたもの）があり、この中に接ベクトル場の"グラフ"が描かれます。このような概念はℝ^nなどの上であれば不要ですが、非自明な多様体では --- 2次元球面ですら！本質的に束を考える必要が生じます。この月は、接束を首めとして様々な束を紹介していきます。 

多様体や束を解析的に測る"かたい"道具として、計量・接続（=共変微分、平行移動）・曲率といった概念たちを導入します。計量を用いると空間上に"ものさし"を定め、曲がった空間上で文字通り図形の計量をすることができます。また、接続はベクトル場（一般にテンソル場）を"微分"し、曲率を定義するために必要な構造です。これらの概念を以て、空間の歪みを定量的に取り扱います。授業では低次元の曲線・曲面論を足場として、視覚的な説明も心掛けます。 

多様体や束を代数的に測る"やわらかい"道具として、基本群・ホモロジー・コホモロジーを導入します。これらを用いると、様々な空間を大らかに識別できる他、「零点を持たないベクトル場が取れるか」といった問題をある意味簡単に解くことができます。その計算は組合せ的な側面を持っている一方で、先月の微分幾何的な情報（空間の歪み・曲がり具合）とも強い結び付きを持ちます。最後は時間の許す限り、その面白さも紹介したいと思います。