学部の物理学

毎週日曜10時-12時@zoom

月4回(日曜が5回ある月は1回お休み)。

期間中はDiscordで連絡や資料・録画共有，質問対応など。Texで書いた資料を配布します。授業はgoodnotesに板書で行います。

 毎日いつでも、授業内容に関する質問はもちろん、一旦授業に関係ない質問もOK。普段の学習で困ったことや気になることがあれば、ぜひなんでも聞いてください。授業後内はもちろん授業後も質問対応の時間を作ります。

 高校物理、微積分、ベクトル解析、線形代数の基本など。

質点の力学(ニュートン力学)では、その後も重要になるいくつかの模型を通じて、運動方程式や保存量の考え方を学びます。より具体的には調和振動子、重力ポテンシャル、連成振動、弦の振動などの系を扱います。

解析力学では、質点の力学で学んだことを、より数学的に洗練された形に書き直します。単に数学的に綺麗なだけでなく、量子力学の考え方の萌芽が生まれていることにも言及します。解析力学は、電磁気学、相対論、量子力学、あるいはその先の場の量子論や弦理論など、どの分野でも用いられています。

場の力学の重要な二つの例の一方をなすのが電磁気学です(もう一つは重力です)。

基礎的な方程式であるMaxwell方程式から出発して、ベクトルポテンシャルやゲージ変換、電磁場のエネルギーや運動量(ポインティングベクトル)、物質中の電磁気学や光学、電磁波の放射など、電磁気学の基礎的な事項を扱います。

ベクトルポテンシャルを用いるさまざまな理由や、その数学的な側面(微分幾何学や代数トポロジー)などにも触れていく予定です。

ニュートン力学と電磁気学とでは、座標変換(観測者の取り替え)による振る舞いが異なることが知られています。この齟齬を、電磁気学に合わせる形で解消してできたものがアインシュタインによる特殊相対性理論です。

光速不変の原理と特殊相対性原理に基づいて、ミンコフスキー時空や固有時の考え方、テンソル解析、相対論的な運動方程式とその解析力学などについて解説します。電磁気学も特殊相対論的な記法で書き直すと、より数学的にも洗練された形になります。

重力による影響を、時空の曲がり具合として幾何学的に記述をしたものが一般相対性理論です。

時空が曲がっていることの影響は、微分の非可換性として曲率というもので表されます。この曲率を用いて、ニュートン力学における運動方程式とポアソン方程式が、それぞれ測地線方程式とアインシュタイン方程式へと書き直されることを解説します。

アインシュタイン方程式をもとにして、球対称ブラックホールを表すシュワルツシルト解や、宇宙の時間発展を記述するフリードマン方程式なども紹介します。

質点の力学では、ユークリッド空間(有限次元)上の点(位置や運動量)で状態をとらえ、状態が満たす運動方程式の解を考えていました。これを、ユークリッド空間上の関数全体の空間(無限次元)という、もっと広い空間で状態をとらえよう、というのが量子力学(正準形式)の発想です。別の言い方としては、必ずしも運動方程式を満たさないような経路からの寄与も考える(経路積分形式)とも言えます。

量子力学はなかなか初学者にはとっつきにくいところがありますが、なるべく自然に入門できるよう、工夫したいと思います。

以上の分野では、小数の自由度の系で基礎的な変数について時間発展の方程式を立てて解析をしていました。熱力学・統計力学はそれらとやや趣を異にしており、多粒子系など多数の自由度からなる系に対して、巨視的に(統計的に)現れる変数を見出して立てられる理論です。

熱力学の基礎をおさえた後に、それを微視的な自由度から再現する統計力学について、重要な模型を挙げて解説します。ユークリッド化・周期化した量子力学との関係(経路積分)にも触れられればと思っています。